科研費シンポジウム予稿 於 : 大阪大学 1992.11.24–25

楕円分布と統計的推測

大阪府立大学工学部狩野 裕

0. Prologue

楕円分布 (elliptical distribution) に基づく統計的推測法はこの２０年の間に大きく進歩した．それは，統計学者が正規分布に飽き足らずその自然な拡張を目指したことと，応用統計学者が明らかに正規分布でないデータに出会ったときの対処法を模索していたことがあいまってこのような progress を導いたと思われる．ここでは，主に分散行列に関する統計的推測問題を中心に議論し，もう１つの大きな柱であるロバスト回帰分析は扱わない．

x_{1}, ⋯, x_{N} を同一分布を持つ p 次元の標本とするとき，楕円分布に基づく統計的推測には次の２つの枠組みがある．１つはこの標本を縦に並べた pN 次元のベクトル [x′_{1}, ⋯, x′_{N}]′ が楕円分布にしたがうことを仮定する．このとき， x_{i} と x_{j} は無相関であるが独立ではなくなる．もう１つの枠組みは， x_{1}, ⋯, x_{N} は独立同一に楕円分布にしたがうことを仮定する．これら２つの枠組みの共通部分は正規分布だけなので，これら２つの分布族は完全に異なった方向への正規分布の拡張である．この小論では第１の枠組みを２節で，第２のアプローチを３節以降で論じる．１節では楕円分布の簡単な性質をまとめておく．

1. Elliptical Distribution

elliptical 分布は正規分布の１つの拡張である．代表的な elliptical 分布 (p 次元) は，多変量 t-分布 (multivariate T -distribution)

MT_{p}(μ, V |ν) : \frac{Γ[(p + ν)/2]}{(πν)^{p/2}Γ(ν/2)|V |^{1/2}} (1 + \frac{(x − μ)′V^{−1}(x − μ)}{ν})^{− \frac{p + ν}{2}} (1.1)

と混合正規分布 (contaminated normal distribution)

CN_{p}(μ, V |ϵ, σ^{2}) : (1 − ϵ)N_{p}(x|μ, V) + ϵN_{p}(x|μ, σ^{2}V)  (1.2)

である．この節では elliptical 分布の基本的な性質をまとめる．

y を q 次元の確率ベクトルとする．任意の q 次直交行列 Γ ∈ O(q) に対して， Γy =^{d} y であるとき， y は spherical 分布にしたがうという．このとき y の特性関数 (c.f.) は ϕ(t′t) で表される． ϕ(·) を characteristic generator ということがある． y が spherical 分布にしたがうことを y ∼ S_{q}(ϕ) で，もしくは，単に y ∼ S_{q} で表す． μ を p-ベクトル， A を p × q 行列とするとき， x = μ + Ay の分布を elliptical 分布といい， x ∼ E_{p}(μ, V; ϕ) で，もしくは，単に， x ∼ E_{p}(μ, V) で表す．ここで， V = AA′ であり， V は擬分散行列といわれる．明らかに， x の c.f. は e^{it′μ}ϕ(t′V t) である．

Shoenberg (1938) は spherical 分布における次の有用な確率表現を与えた:

y ∼ S_{q} ⟹ y =^{d} ru^{(q)}.  (1.3)

ここで， r は r ≥ 0 なる確率変数， y^{(q)} は q 次元単位球面上の一様分布で r と独立に分布する．また， E[u^{(q)}] = 0, Var[u^{(q)}] = \frac{1}{q}I_{q}. elliptical 分布に対しては

x ∼ E_{p}(μ, V) ⟹ x =^{d} μ + rAu^{(q)}  (V = AA′)  (1.4)

となる．従って， spherical 分布と elliptical 分布は，ともに， r の分布 F (r) によって規定されることになる．例えば， Z_{1} ∼ χ_{q}^{2}, r := \sqrt{Z}_{1} のとき， x ∼ N_{p}(μ, V), また， Z_{2}/q ∼ F_{ν}^{q}, r := \sqrt{Z_{2}} のとき， x ∼ MT_{p}(μ, V |ν) となる． Pr(r = 0) = 0 のとき，これらの分布を S_{p}^{+}(ϕ), E_{p}^{+}(μ, V; ϕ) などと書く．

r の分布 F (r) と y の characteristic generator ϕ のあいだには次の関係がある:

ϕ(x) = ∫ Ω_{q}(xr^{2})dF (r).

ここで， Ω_{q}(·) は u^{(q)} の characteristic generator で

Ω_{q}(t′t) = ∫_{y′y=1} e^{it′y}dS/c_{q}
where c_{q} = \frac{2π^{q/2}}{Γ(q/2)} : q 次元単位球面の表面積.

もう１つの有用な確率表現は分割された y に対するものである (Kariya & Sinha 1987, Lemma 1.6; Fang, Kots & Ng 1990, Theorem 1.5):

y =^{d} ru^{(q)} ⟹ y = [ y_{1} ; ⋮ ; y_{m} ] } q_{1} ; ⋮ ; } q_{m} =^{d} [ r d_{1}u^{(q_{1})} ; ⋮ ; r d_{m}u^{(q_{m})} ] .  (1.5)

ここで， (d_{1}^{2}, ⋯, d_{m}^{2}) は Dirichlet 分布 D_{m}(q_{1}/2, ⋯, q_{m}/2) にしたがう確率ベクトルであり， r, (d_{1}^{2}, ⋯, d_{m}^{2}), u^{(q_{1})}, ⋯, u^{(q_{m})} は互いに独立に分布する．

確率表現 (1.3)–(1.5) を用いると， spherical 分布と elliptical 分布の性質の多くは簡単に導かれる．例えば， Fang, Kots & Ng (1990) を参照されたい．いくつかの簡単な性質を挙げておく．

y =^{d} ru^{(q)} ∼ S_{q}^{+} のとき，

i) ∥y∥ =^{d} r, y/∥y∥ =^{d} u^{(q)}, ∥y∥ ^{||} — y/∥y∥

x =^{d} μ + rAu^{(q)} ∼ E_{p}(μ, V) のとき，

ii) E(x) = μ, Var(x) = \frac{E(r^{2})}{q}V iii) x = [x′_{1}, x′_{2}]′ (x_{1} : p_{1}-vector), μ = [μ′_{1}, μ′_{2}]′, V = [V_{ij}] とすると，

x_{1}|x_{2} =^{d} μ_{1.2} + r′A_{11.2}u^{(p_{1})} ∼ E_{p_{1}}(μ_{1.2}, V_{11.2})

where μ_{1.2} =μ_{1} + V_{12}V_{22}^{−1}(x_{2} − μ_{2})
V_{11.2} =V_{11} − V_{12}V_{22}^{−1}V_{21} = A_{11.2}A′_{11.2}
r′ =^{d}[r^{2} − (x_{2} − μ_{2})′V_{22}^{−1}(x_{2} − μ_{2})]^{1/2}|x_{2}

x が elliptical 分布にしたがっているとき， x の p.d.f. は (存在すれば)

|V |^{−1/2}g{(x − μ)′V^{−1}(x − μ)}  (1.6)

と表される．ここで， g(·) は (μ, V) に依存しない非負の関数である．このとき， r = ∥x∥ の p.d.f. は

\frac{2π^{p/2}}{Γ(p/2)}r^{p−1}g(r^{2})

で与えられる (Kelker 1970).

elliptical 分布の p.d.f. による表現には次の不定性があることに注意する必要がある． (1.6) の p.d.f. は， c > 0 として，

|cV |^{−1/2}c^{p/2}g{c(x − μ)′(cV)^{−1}(x − μ)}

と書くこともできる．つまり，次の 2 つの表現は同値であり同一の elliptical 分布を表す:

(μ, V, g(x)) ⟺ (μ, cV, c^{p/2}g(cx)) .

この不定性は，確率表現 (1.4) では x = μ + rAu^{(q)} = μ + (c^{−1/2}r)(c^{1/2}A)u^{(q)} と書けることに対応する．この意味で， elliptical 分布においては V 自身の推定には意味はなく，変換 V → cV のもとで不変な関数 h(V) のみを対象にすべきであるという主張もある (Tyler 1987). この条件を式で書くと

h(cV) = h(V) for ^{∀}c > 0, V > 0.  (1.7)

これは後節で用いられる． (1.7) を満たす関数としては相関係数 h(V) = \frac{v_{ij}}{\sqrt{v_{ii}v_{jj}}} などがある．

次に， elliptical 分布のモーメントを与えておこう．以下に現れるモーメントはその存在を仮定する． x = [X_{1}, ⋯, X_{p}]′ ∼ E_{p}(μ, V; ϕ) のとき，容易に

E[x] = μ, Var(x) = −2ϕ′(0)V (= Σ = (σ_{ij}), とかく)

がわかる (Muirhead 1982)．高次モーメントは（簡単のため μ = 0 とする）

E[X_{i_{1}}X_{i_{2}} ⋯ X_{i_{2m}}] =η(m) ∑ σ_{j_{1}j_{2}}σ_{j_{3}j_{4}} ⋯ σ_{j_{2m−1}j_{2m}}
where η(m) =ϕ^{m}(0)/(ϕ′(0))^{m}

(Berkane & Bentler 1986). ここで ∑ は， (i_{1}, ⋯, i_{2m}) を２つの添字からなる m コの組に分割する (2m)!/(2^{m}m!) 通りの組合せ全てについての和である．もちろん，正規分布のときは η(m) = 1 である．特に， 4 次モーメントと尖度は

E(X_{i}X_{j}X_{k}X_{ℓ}) = η(2)(σ_{ik}σ_{jℓ} + σ_{iℓ}σ_{jk} + σ_{ij}σ_{kℓ})  (1.8)
E(X_{i}^{4})/3E(X_{i}^{2})^{2} = η(2) for ^{∀}i

となる．もちろん， x ∼ N_{p}(0, V) のときは η(2) = 1 である．

Mardia (1970) は多変量尖度 β_{2,p} = E[(x′Σ^{−1}x)^{2}] を定義した． Mardia (1974) は β_{2,p} を CN_{p}(μ, V |ϵ, σ^{2}) について計算した． Browne (1982, 1984) は elliptical 分布の下での β_{2,p} と η(2) の関係

η(2) = β_{2,p}/p(p + 2) = E[(x′Σ^{−1}x)^{2}]/p(p + 2)  (1.9)

を指摘した. つまり， elliptical 分布においては周辺分布の尖度 E(X_{i}^{4})/3E(X_{i}^{2})^{2} とスケールを調整した多変量尖度 β_{2,p}/p(p + 2) はすべて等しい． Bentler & Berkane (1986) は η(2) の下限を与えた:

η(2) ≥ \frac{p}{p + 2}.

以下では， η(2) を η と書くことにする．

最後に，標本分散行列 S = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{N}(x_{k} − x̄)(x_{k} − x̄)′ = (s_{ij}) の要素間の共分散を与えておこう．ここで， n = N − 1. (1.8) から

Cov(X_{i}X_{j}, X_{k}X_{ℓ}) = η(σ_{ik}σ_{jℓ} + σ_{iℓ}σ_{jk}) + (η − 1)σ_{ij}σ_{kℓ}

であるから, 容易に

n · Cov(s_{ij}, s_{kℓ}) = η(σ_{ik}σ_{jℓ} + σ_{iℓ}σ_{jk}) + (η − 1)σ_{ij}σ_{kℓ} + o(1).  (1.10)

p^{∗} = p(p + 1)/2 として， S の重複しない要素から成る p^{∗}-ベクトルを v(S) で表すと， (1.10) は次のように行列表現できる:

n · Cov(v(S), v(S)′) =ηΓ_{N} + (η − 1)v(Σ)v(Σ)′ + o(1)
where Γ_{N} =2D_{p}^{+}(Σ ⊗ Σ)D_{p}^{+′}.

この結果は Bentler (1983) による．ここで， D_{p}^{+} は duplication 行列である (Magnus & Neudecker 1988 を見よ). 従って， v(S) は漸近正規し

\sqrt{n}(v(S) − v(Σ)) ⟶^{d} N_{p^{∗}}(0, ηΓ_{N} + (η − 1)v(Σ)v(Σ)′)  (1.11)

が成り立つ．正規性の下では， η = 1 であるから

\sqrt{n}(v(S) − v(Σ)) ⟶^{d} N_{p^{∗}}(0, Γ_{N})  (1.12)

である． Γ_{N} は正規性の下での v(S) の漸近分散を表している．

その他の elliptical 分布の性質については， Cambanis, Huang & Simons (1981), Fang, Kotz & Ng (1990), Mitchell (1988) などを参照されたい．

2. Normal Theory Statistics Under Elliptical Distributions (I)

x = [X_{1}, ⋯, X_{n}]′ ∼ N_{n}(0, σ^{2}I_{n}), X̄ = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} X_{k}, s^{2} = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n}(X_{k} − X̄)^{2} とする． t 統計量と F 統計量は次で定義される:

t :=\frac{X̄}{\sqrt{s^{2}/(n − 1)}} ∼ t_{n−1}  (2.1)
F :=\frac{x′A_{1}x/f_{1}}{x′A_{2}x/f_{2}} ∼ F\begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \end{matrix} .  (2.2)

ここで， A_{i} は直交射影行列で A_{1}A_{2} = 0, rank(A_{i}) = f_{i} である．これらの事実は正規性の仮定に基づくが，より広い分布の族 spherical 分布 S_{p}^{+} に対しても成立する． (2.2) を例にとってみる． (1.3) から x ∼ S_{n}^{+} のとき x =^{d} ru^{(n)} と書けるので，

\frac{x′A_{1}x}{x′A_{2}x} =^{d} \frac{u^{(n)′}A_{1}u^{(n)}}{u^{(n)′}A_{2}u^{(n)}}

となり， F の分布は r に依存しなくなる．従って， F の分布は r に依らず F\begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \end{matrix} である． (2.1) も同様に示される．

より一般に， T (cx) =^{d} T (x) for ^{∀}c > 0 なる統計量は x =^{d} ru^{(n)} なる分布族に対して r に依らず同一分布を有することがわかる．このような議論においては，実は，独立性 r ^{||} — u^{(n)} を仮定しなくともよいことに注意する．

Anderson & Fang (1982), Chmielewski (1981), Ohtani (1990) らは，この性質を回帰分析における種々の検定統計量に応用している．

次に多変量解析における統計量について考えてみよう．通常古典的な set-up は x_{1}, ⋯, x_{N}

∼^{i.i.d.} N_{p}(μ, Σ) である．これは，

X = [x′_{1}, ⋯, x′_{N}]′ ∼ N_{pN}(1_{N} ⊗ μ, I_{N} ⊗ Σ)

と書いてもよい． (これは通常の matrix normal distribution の表記とは少し異なる) このとき， X に基づく統計量 T (X) が

T (c(X − (1_{N} ⊗ μ))) =^{d} T (X) for ^{∀}c > 0  (2.3)

を満たすとき，正規性の下での T (X) の分布は elliptical 分布

X = [ x_{1} ; ⋮ ; x_{N} ] = (I_{N} ⊗ μ) + r(I_{N} ⊗ Σ^{1/2})u^{(pN)} ∼ E_{pN}(1_{N} ⊗ μ, I_{N} ⊗ Σ)  (2.4)

の下での分布と等しくなる．（実は，ここでも r ^{||} — u^{(pN)} の仮定は不要）以下に挙げる諸統計量はすべて (2.3) の条件を満たすので，正規性の下で導出された標本分布は (2.4) の elliptical 分布の下でも正しい．

H_{0} : μ = μ_{0},  H_{1} : μ ≠ μ_{0} : T^{2} = N(x̄ − μ_{0})′S^{−1}(x̄ − μ_{0})
H_{0} : Σ = σ^{2}I_{p},  H_{1} : Σ > 0 : \frac{|S|^{n/2}}{tr(S/p)^{pn/2}} , \frac{p^{2}n}{2}tr\{Str(S)^{−1} − p^{−1}I_{p}\}^{2}
H_{0} : Σ_{ij} = 0 (i ≠ j), H_{1} : Σ > 0 : \frac{|S|^{N/2}}{∏_{i} |S_{ii}|^{N/2}} , \frac{n}{2} ∑_{i≠j} tr(S_{ij}S_{jj}^{−1}S_{ji}S_{ii}^{−1})

ただし， Σ = [Σ_{ij}], S = [S_{ij}].

また， MANOVA における検定統計量 LRT, Roy’s test, Lawley–Hotelling’s test, Pillai’s test も (2.3) を満たす．これらの結果は，主に， Dawid (1977), Kariya (1981a, b), Fang らの一連の論文 (Fang & Anderson 1990) らに依る． Kariya (1981b) はこれらの検定統計量が UMPI であることも示している．より詳しくは Kariya & Sinha (1989) と Fang & Zhang (1990) を参照されたい．

3. Normal Theory Statistics Under Elliptical Distributions (II)

前節では，標本 x_{1}, ⋯, x_{N} が１つの elliptical 分布にしたがうという状況を考えた．そのときは， x_{1}, ⋯, x_{N} は独立に分布しないが，正規分布の下での統計量の分布が elliptical 分布の下での分布と exact に一致するという強い結果が得られた．ここでは，それぞれの標本 x_{k} が elliptical 分布にしたがい x_{1}, ⋯, x_{N} は互いに独立に分布するという状況を取り上げる．特に，標本分散行列 S の関数 h(S) (r × 1) の漸近分布と，仮説 H_{0} : h(Σ) = 0 vs. H_{1} : h(Σ) ≠ 0 に対する検定統計量の漸近分布を考察する．

正規性の仮定の下では (1.12) が成立するから， h(S) については，

\sqrt{n}(h(S) − h(Σ)) ⟶^{d} N_{r}(0, H Γ_{N}H′)   (3.1)

が成り立つ．ここで， H = \frac{∂h(S)}{∂v(S)′} |_{S=Σ} である．一方， elliptical 分布の下では (1.11) から

\sqrt{n}(h(S) − h(Σ)) ⟶^{d} N_{r}(0, ηH Γ_{N}H′ + (η − 1)Hv(Σ)v(Σ)′H′)  (3.2)

が出てくる．もし， Hv(Σ) = 0 となるならば， h(S) の漸近分散は

ηH Γ_{N}H′  (3.3)

と極めて簡単になる． Hv(Σ) = 0 は，実は次の条件の下で成立する:

(PH) h(cΣ) = h(Σ) for ^{∀}c > 0, Σ > 0.

この条件は (1.7) で述べられたものであり， Tyler (1983) によって導入された．この条件を Positively Homogeneous (PH) と略すことにする．

(3.1)–(3.3) から， ((PH) の下で) elliptical 分布の下での h(S) の漸近分散の公式は，正規分布の下での公式 H Γ^{−1}H に η 倍を施すとよいことがわかる．この事実は次の２つのことを意味する．１つ目は，正規分布の下での統計的推測は elliptical 分布に対してロバストではないことを示しており，漸近分散の公式 H Γ_{N}^{−1}H は安心して使えないことを暗示している．特に， η が大きいとき，つまり裾が重たい分布に対しては漸近分散を過小評価することになり問題である．もう１つは， η による修正を行えば，正規分布に基づく推測は正しくなることである．

具体例として相関係数 r を考えると， r は条件 (PH) を満たしている．母相関を ρ とすると，正規性の下で r の漸近分散は 1 − ρ^{2} であるから (Anderson 1984), elliptical 分布のもとでは η(1 − ρ^{2}) となる．もちろん， Z-変換を施しても同じ関係が保持される．一方， S の固有値 λ̂_{k} は (PH) でないので，単に η 倍するという修正はできない．実際，正規分布の下での λ̂_{k} の漸近分散は 2λ_{k}^{2} であるのに対し， elliptical 分布の下では

η × 2λ_{k}^{2} + (η − 1)λ_{k}^{2} = λ_{k}^{2}(3η − 1) (= λ_{k}^{2}(2 + κ), κ = \frac{σ_{iiii}}{σ_{ii}^{2}} )

であって，これは 2λ_{k}^{2} の η 倍にはなっていない．また， S の固有ベクトルは (PH) を満たすので， η 倍するという修正は可能である．次に，検定問題を考えよう．扱う仮説は

H_{0} : h(Σ) = 0 vs. H_{1} : h(Σ) ≠ 0  (3.4)

である． Muirhead & Waternaux (1980) は分散行列に関する正規分布に基づくいくつかの尤度比検定 (LR) 統計量の漸近挙動を elliptical 分布の下で調べ，あるものはカイ２乗分布の η 倍に収束するが，そうでないものもあることを示した．では，どのようなときにカイ２乗分布の η 倍に収束するのだろうか．

仮説 (3.4) に対する，正規分布に基づく LR 統計量 λ は次の展開を持つ:

−2 log λ = n{v(S) − v(Σ)}′H′(H Γ_{N}H′)^{−1}H{v(S) − v(Σ)} + o_{p}(1).  (3.5)

正規分布の仮定の下では (1.12) が成立するので， (3.5) から −2 log λ の漸近カイ２乗性は直ちにわかる．一方， elliptical 分布の下で， −2 log λ がカイ２乗分布に収束するためには， (1.11) より

H′(H Γ_{N}H′)^{−1}H{ηΓ_{N} + (η − 1)v(Σ)v(Σ)′}

が巾等にならなければならない．これは一般には偽であるが，

H′(H Γ_{N}H′)^{−1}H/η × ηΓ_{N}

は巾等になる．従って， Hv(Σ) = 0 という仮定の下では，

−2 log λ/η ⟶^{d} χ_{r}^{2}  (3.6)

が得られる．つまり， (3.6) が成立するかどうかは， (3.4) の仮説において h(Σ) が (PH) であるかどうかにかかっている．この結果は Tyler (1983) による．

以上より，標本分散行列 S に基づく諸統計量の正規性の下での公式 —– 漸近分散，漸近カイ２乗性 —– は， elliptical 分布の下では一般に正しくなく，特に，尖度 η が 1 から大きくずれているときは，それらの公式の形式的な適用はきわめて危険であることがわかる．しかし， h(Σ) が (PH) であれば，それらの公式を η で修正したものは漸近的に正しく，利用可能である．

Browne (1982) によって適用された例を見てみよう．扱われたのは麻薬に関するデータ (N = 1634, p = 13) で， 3–因子探索的因子分析が行われた．適合度検定統計量の値は以下のようである．

\begin{matrix}統計量 & 統計量の値 & P–値 \\ −2 log λ & 230.5 & < .00001 \\ −2 log λ/η̂ & 55.0 & .09 \\ ADF & 62.3 & .02 \end{matrix}

表 1．いくつかのカイ２乗検定統計量 (df=42)

ADF は distribution-free なノンパラメトリック法による検定統計量である．尖度の推定値 η̂ = 4.19 は，かなり大きな値である．これは正規分布よりも裾の重い分布である楕円分布などを当てはめるべきであることを示唆している．そのとき，統計量の値は 230.5 から 55.0 へ大きく減少し， P–値は 9% で，かなりよいあてはまりであることを示す． −2 log λ/η̂ と ADF が近い値であることは， −2 log λ/η̂ の信憑性を高めている．

4. M-Estimation with Estimated Nuisance Parameter ν

標本分散行列 S に基づく統計的推測は，尖度 η によって修正を行えば，裾の重たい elliptical 分布に対しても基本的に正しいことが前節で述べられた．しかし，この推測が効率的であるかどうかは議論の余地がある．実際， Tyler (1983) は η が大きいときには S に基づく推測はかなり非効率的であると述べている．我々の研究でも (Berkane, Kano & Bentler 1992), 彼の指摘が正しいことが裏付けられている．これについては後述する．

一方， S 自体，異常値混入に大きく影響され易いことがしばしば指摘されている．この意味でも S は Σ のロバストな推定量ではない．これらの事実を勘案して，正規分布より裾の重い分布を表現できる elliptical 分布を用いた統計的推測が考えられてきた．

いま， elliptical 分布の p.d.f. を

|V |^{−1/2}f{(x − μ)′V^{−1}(x − μ)|ν}

とおく． f(·|·) は既知の非負関数である．互いに独立な標本 x_{1}, ⋯, x_{N} から，この p.d.f. に基づいて，未知母数 (μ, V) の推測を最尤法によって行う．ここで， ν は興味ある母数 (μ, V) 以外のパラメタで，まず最初に，適切な値 ν = ν_{0} に固定する場合について考える． ν を推定する場合については後ほど述べる．

(μ̂, V̂) は次で定められるとしよう:

max_{(μ,V)} ∏_{k=1}^{N} |V |^{−1/2}f{(x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)|ν_{0}}.  (4.1)

(4.1) の目的関数を (μ, V) で微分すると，

\frac{1}{N} ∑_{k} w(u_{k}|ν_{0})(x_{k} − μ) = 0  (4.2)
\frac{1}{N} ∑_{k} w(u_{k}|ν_{0})(x_{k} − μ)(x_{k} − μ)′ = V  (4.3)

が得られる．ここで

w(u|ν) = −2\frac{∂}{∂u} log f(u|ν), u_{k} = (x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)

である．例えば， f として MT_{p}(μ, V |ν) をとると，

w(u|ν) = \frac{ν + p}{ν + u}

となる． w(u|ν) は各標本の weight と解釈できるので，上記方程式 (4.2), (4.3) の解においては， Mahalanobis の距離 û_{k} = (x_{k} − μ̂)′V̂^{−1}(x_{k} − μ̂) が大きい標本には小さな weight がかけられることになる．つまり， MT_{p}(μ, V |ν) に基づく推定法は，平均 μ から大きく離れた標本の推定量への影響を小さくする推定法であることがわかる．この事実は， MT_{p}(μ, V |ν) ばかりではなく，次節で述べる N/I 分布に対しても正しいことが示される． ν_{0} の指定は û_{k} の大きさに応じて weight をどの様にとるか，換言すると，どの程度頑健な推定量を構成したいのか，という意味合いをもつ．図１を参照されたい．この意味で， Lange, Little & Taylor (1989) は ν を robustness tuning パラメータと呼んでいる．

(4.2), (4.3) における w を適当な条件 (Maronna 1976, page 53, 条件 (A)–(D)) を満たす任意の関数とすると，これらの方程式はいわゆる M-推定量を定める． Huber (1964) は

w_{1}(u) = ψ(u^{1/2}, k_{1})/u^{1/2}, w_{2}(u) = ψ(u, k_{2})/(βu)
ψ(u, k) = max(−k, (u, k))

を定義した (Maronna 1976, page 53 参照)．従って， elliptical 分布に基づく推測は M-推定法の枠組みにはいる． Tyler (1987) は μ̂ 所与の下で，

\frac{1}{N} ∑_{k} \frac{p}{(x_{k} − μ̂)′V^{−1}(x_{k} − μ̂)}(x_{k} − μ̂)(x_{k} − μ̂)′ = V

で定められる M-推定量 V̂ の性質を調べた．この推定関数は Maronna (1976) の条件を満足しないが，一致性，漸近正規性が保証され，漸近分布は elliptical 分布に対して distribution-free であることが示されている． (4.2), (4.3) を解くアルゴリズムで自然なものは次の reweighting 方式である．

1^{∘} μ^{(0)} = x̄, V^{(0)} = S, ϵ > 0 given, t = 0,

2^{∘} w_{k}^{(t)} = w ((x_{k} − μ^{(t)})′(V^{(t)})^{−1}(x_{k} − μ^{(t)})|ν_{0}),

3^{∘} \{ \begin{matrix}\frac{1}{N} ∑_{k} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ) = 0 \\ \frac{1}{N} ∑_{k} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ)(x_{k} − μ)′ = V \end{matrix} を解いて μ^{(t+1)}, V^{(t+1)} を得る,

4^{∘} ∥μ^{(t+1)} −μ^{(t)}∥ < ϵ, ∥V^{(t+1)} −V^{(t)}∥ < ϵ であれば終了．そうでなければ， t := t+1 として 2^{∘} へ．

これは simple であるが，収束が遅く不安定と報告されている (Hampel et al. 1986, page 289). そのため， Huber (1977) による ROBETH, Dutter (1983) による COVINTER などが提案されているが，現在のところ満足できるものはまだ無いようである．

M-推定量の influence function は Huber (1981, page 226) で与えられており， breakdown point は 1/p 以下であることが示されている．これは極めて低い値であり，満足すべきものではない．いくつかの high breakdown point を持つ推定量も提案されている (e.g., Rousseeuw & Leroy 1987, page 256)．

さて，今までは， ν = ν_{0} として話を進めてきたが， ν を推定することを含めて ν の扱い方について論じよう．次の 3 つの場合を考える．

i) ν = ν_{0}, 所与の値, ii) (μ, V) と ν を同時推定, iii) 簡単な方法で ν̂ を得てから， (μ, V) を推定する.

一般論としては，大標本のときは ν を推定し，小標本のときは適切であろう値を事前に与えることになる． Taylor (1992) は ν を推定することのコストを数値実験により検討している．計算量という観点では ii) が一番重たく，さらに，反復が収束しづらいという報告がある (Lange, Little & Taylor 1989)．次節で述べる EM algorithm も， ν が未知の場合は少々複雑になる．この点で， i), iii) が勧められよう． Lange らは ν = 4 とおくことを勧めている．漸近的性質を調べるという観点では， (一致性を除いて) iii) が i), ii) を含む．

Kano, Berkane & Bentler (in press) は，\sqrt{N}(ν̂ − ν_{0}) = O_{p}(1) のとき， i) による推定量は iii) によるものと漸近同値であることを示している．つまり， (μ̂, h(V̂)) の漸近分布は ν̂ の収束先である ν_{0} にのみ依存し， ν̂ の分布にはよらない．この結果をもう少し詳しくみてみよう．

x_{1}, ⋯, x_{N} を elliptical 分布 g からの独立標本とし，推定量 (μ̂, V̂) を次で定める:

max_{(μ,V)} ∏_{k=1}^{N} |V |^{−1/2}f{(x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)|ν̂}.

ここでは， (4.1) と違って， ν_{0} の代わりに ν̂ が用いられていることに注意する．母集団分布 g は elliptical 分布ではあるが，モデル f に含まれていないかもしれない (misspecified model) という状況の下で， Kano, et al は次を示した:

\sqrt{n}(h(V̂) − h(V)) ⟶^{d} N_{r}(0, c H Γ_{N}H′).  (4.4)

ここで， h(·) は (PH) を満たす任意の関数， c は推定可能な正定数である． f として，正規モデルを採用すると， c は，尖度 η に等しくなり， (4.4) は (3.3) を示す．また， c = c(f, ν_{0}) は ν̂ の分布には依存せず，その収束先 ν_{0} と f に (もちろん g にも) 依存する．

H Γ_{N}H′ は，実は，モデル f に依存しないことが証明できるので，モデル f の漸近分散への影響は c(f, ν_{0}) にのみ反映されることになる．推定量の良さを漸近分散の大きさで測ることにすれば， c(f, ν_{0}) の値の大きさでもってモデルの良し悪しが評価できることになる．例えば， 1 組の標本に対して，正規モデル，多変量 t-モデル，混合正規モデルのいずれが良いモデルなのか．また， robustness tuning パラメータ ν としては， ν_{1}, ν_{2} どちらの値がよいのか．これらはすべて， c(f, ν_{0}) の値で比べることができる．

Berkane, Kano & Bentler (1992) は， (4.4) に基づいて，母集団分布 g と仮定されたモデル f との乖離が c(f, ν) にどの様な影響を与えるかを調べた．彼らは g として MT_{p}(μ, V |α), f として MT_{p}(μ, V |ν) を採用し， c(f, ν) を ν と α の関数として級数表現した． ν = ∞ のとき MT_{p}(μ, V |ν) は正規モデルになる．図 2 に c(f, ν) のグラフを示す．正規モデルは α が小さいとき，つまり，尖度が大きい母集団分布に対して，かなり非効率的であることがわかる (原論文では， ν と α は入れ替わっている)． 5. Normal/Independent Distribution and EM Algorithm

Normal/Independent (N/I) 分布は elliptical 分布の重要なサブクラスであり，次で定義される:

x = μ + z/\sqrt{q}

where x ∼ N_{p}(0, V), q ∼ M(q|ν), z —^{||} q.

ここで， ν は q の分布に伴うパラメータである．このとき， x の p.d.f. は

∫ \frac{q^{p/2}}{(2π)^{p/2}|V |^{1/2}} exp \{−\frac{q}{2}(x − μ)′V^{−1}(x − μ)\} dM(q|ν)  (5.1)

で与えられる． N/I 分布は (scale) mixture of normal distributions もしくは compounded normal distribution とも言われる．特に重要な N/I 分布は

ν · q ∼ χ_{ν}^{2}  ⟹ x ∼ MT_{p}(μ, V |ν)

\begin{matrix}Pr(q = 1) = 1 − ϵ \\ Pr(q = 1/σ^{2}) = ϵ \end{matrix} ⟹ x ∼ CN_{p}(μ, V |ϵ, σ^{2})

である．また， power exponential 分布の 1 つ

c_{p}|V |^{−1/2} exp {− ((x − μ)′V^{−1}(x − μ))^{−1/2}}

も N/I 分布である．他の例は， Andrews et al. (1972), Andrews & Mallows (1974), 渡邊 & 山口 (1989) を参照されたい．

N/I 分布における推定法は q を欠測変量と見なす EM algorithm が有効である．これについて述べる前に， outlier detection について触れる． k 番目の個体 x_{k} = μ + z_{k}/\sqrt{q}_{k} のデータ生成過程を次のように考える．まず， q_{k} の実現値が得られ，それに対して x_{k} が N_{p}(μ, V/q_{k}) により生成される．このとき，もし q_{k} の値が小さければ分散 V/q_{k} が大きくなるので， x_{k} は outlier として現れ易いと考えられる． q_{k} は条件付き期待値 E[q_{k}|x_{k}] で推定される．つまり， E[q_{k}|x_{k}] の値の小さな観測値 x_{k} は outlier としての疑義が深められる．実際， MT_{p}(μ, V |ν) のときは， u_{k} = (x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ) として，

E[q_{k}|x_{k}] = \frac{ν + p}{ν + u_{k}}

となり， E[q_{k}|x_{k}] の値の小さな標本を outlier と判断することは， Mahalanobis の距離 u_{k} の大きな標本を outlier と見なすことと同値になる．一般に， E[q_{k}|x_{k}] は u_{k} の単調減少関数になることが示せるので，この事実は MT_{p}(μ, V |ν) ばかりではなく，一般の N/I 分布に対しても正しい． Dempster, Laird & Rubin (1980) はこの結果をロバスト回帰分析の context で指摘している．

また，一般に

E[q_{k}|x_{k}] = w(u_{k}|ν)  (5.2)

が成り立つことは，前節で述べた M-推定 ((4.2), (4.3)) とここで述べた E[q_{k}|x_{k}] による outlier 検出とのあいだの関係を明らかにする．今， E[q_{k}|x_{k}] によって outlier をスクリーニングした後で，残った標本に対して正規分布に基づく推測 (換言すると x̄, S 推定量とする) を考えると，４節で述べた M-推定との違いは次のようになる．４節での方法は，標本の Mahalanobis の距離に応じて w(u_{k}|ν) によってデータに weight をつけて推定するのに対し， E[q_{k}|x_{k}] に基づく方法は w(u_{k}|ν) をその大きさに応じて 0 か 1 に丸めた後 (0 はデータを省くことを意味する)， (4.2), (4.3) を適用する方法であるといえる．また， Mahalanobis の距離 u_{k} を計算するときの (μ̂, V̂) の構成法が両者で異なることにも注意する．

さて， EM algorithm (Dempster, Laird & Rubin 1977; 宮川 1987) について述べよう． EM algorithm は観測変量 x と欠測変量 y に基づいて，完全データ (x, y) を規定するパラメータ θ を x から推定する方法である． E-ステップにおいて，完全データ (x, y) の対数尤度における欠測変量 y を (x が与えられた下での) 条件付き期待値で置き換える．次に， M-ステップで，得られた条件付き対数尤度を θ に関して最大化することにより θ̂ を得る．完全データ (x, y) の対数尤度を ℓ(θ|x, y) と書くと， EM algorithm は次のように記述される．

1^{∘} θ^{(0)} given, ϵ > 0 given, t = 0,
2^{∘} E-step : ℓ̃(θ|x, θ^{(t)}) := E_{y}[ℓ(θ|x, y)|x, θ^{(t)}],
3^{∘} M-step : max_{θ} ℓ̃(θ|x, θ^{(t)}) により θ^{(t+1)} を求める,
4^{∘} ∥θ^{(t+1)} − θ^{(t)}∥ < ϵ, であれば終了．そうでなければ， t := t + 1 として 2^{∘} へ．

E-ステップでは， exponential family に対しては， θ の十分統計量 t(x, y) の条件付き期待値 E_{y}[t(x, y)|x] を求めることになる．また， N/I 分布に対しては E_{q}[q|x] を計算する．

ここで， N/I 分布における EM algorithm を考えよう．観測変量 x_{k} = μ + z_{k}/\sqrt{q_{k}} (k = 1, ⋯, N) において， q_{k} を欠測変量と考える． q_{k} の分布を dM(q_{k}|ν) = m(q_{k}|ν)dq_{k} とし， q_{k} の分布に伴うパラメータ ν は ν = ν_{0}, 所与, とする． X = (x_{1}, ⋯, x_{N}), Q = (q_{1}, ⋯, q_{N}) とおくと，完全データ (X, Q) の対数尤度は， (5.1) から

ℓ(μ, V |X, Q) = −\frac{1}{2} ∑_{k=1}^{N} \{log |V | + q_{k}(x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)\}

+ ∑_{k=1}^{N} log{(2π)^{−pN/2}q_{k}^{p/2}m(q_{k}|ν_{0})}

(5.3)

となる． (5.2) から x_{k} が与えられた下での q_{k} の条件付き期待値は

E(q_{k}|x_{k}) = w(u_{k}|ν_{0}) = w ((x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)|ν_{0})

で与えられる．従って， (μ, V) = (μ^{(t)}, V^{(t)}) のときの (5.3) の条件付き期待値は次のようになる:

ℓ̃(μ, V |X) =E[ℓ(μ, V |X, Q)|X; μ^{(t)}, V^{(t)}]
= − \frac{1}{2} ∑_{k=1}^{N} \{log |V | + w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)\} + const
where w_{k}^{(t)} = w ((x_{k} − μ^{(t)})′(V^{(t)})^{−1}(x_{k} − μ^{(t)})|ν_{0}) .

ここで， const は (μ, V) を含まない項である．ゆえに，

max_{(μ,V)} ℓ̃(μ, V |X) ⟺ _{(μ,V)} \{log |V | + \frac{1}{N} ∑_{k=1}^{N} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ)′V^{−1}(x_{k} − μ)\} (5.4)

である． (5.4) の右側の目的関数を (μ, V) で微分したものは，

\{ \begin{matrix}\frac{1}{N} ∑_{k} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ) = 0 \\ \frac{1}{N} ∑_{k} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ)(x_{k} − μ)′ = V \end{matrix}  (5.5)

となり，これを解いて μ^{(t+1)}, V^{(t+1)} を得る． (5.5) は本稿 11 ページの 3^{∘} に一致する．従って， N/I 分布における EM algorithm は 4 節で述べた reweighting 方式そのものであることがわかる．

μ が nuisance パラメータで V = V (θ) の共分散構造に興味があるときは，

(μ,θ) \{log |V (θ)| + \frac{1}{N} ∑_{k=1}^{N} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ)′V (θ)^{−1}(x_{k} − μ)\}  (5.6)

を実行し， μ^{(t+1)}, θ^{(t+1)} を得ることになる． μ に関する最小化は自明であり， μ^{(t+1)} = \frac{1}{∑_{k} w_{k}^{(t)}} ∑ w_{k}^{(t)}x_{k} であるから，これを (5.6) に代入すると， θ に関する最小化は次のようになる:

θ {log |V (θ)| + tr (V (θ)^{−1}S^{(t+1)})}

where S^{(t+1)} = \frac{1}{N} ∑_{k} w_{k}^{(t)}(x_{k} − μ^{(t+1)})(x_{k} − μ^{(t+1)})′.

これは，標本分散行列が S^{(t+1)} であるときの MLE θ̂ を求めるための最小化問題そのものである．従って，この部分の最適化は、それぞれのモデル V (θ) に対してすでに開発された最尤法に対するアルゴリズムやソフトウェアがそのまま利用できることになる．つまり， N/I 分布の下での MLE を求めるには， score や Fisher 情報行列を計算してプログラムを組む必要はなく，正規分布の下での MLE を計算するプログラムがあればよい．

渡邊 · 山口 (1989) と山口 · 渡邊 (1989) は，因子分析モデルにおいて compounding variate q と共通因子の両者を欠測変量と見なした EM algorithm を研究している．

ここでは， q の分布として連続分布を取り上げたが，離散分布の場合は少し工夫が必要である．というのは，離散分布の場合には q の取り得る値は q^{(1)}, q^{(2)}, ⋯ のように可算個であるので，その推定値は E(q|x) = q^{(j)} for ^{∃}j とならなければならない．しかし， E(q|x) は通常 x の連続変量であるためそうはならないからである． Yamaguchi (1990) はこの点を考慮して CN_{p}(μ, V |ϵ, σ^{2}) に対する EM algorithm を提案している．

6. Epilogue

以上，主に 1980 年代に発展した elliptical 分布に基づく推測理論について概観した．もちろんこれらは著者の興味が中心なので bias は隠せない．正規性の検定 (Kuwana & Kariya 1991) や高次漸近展開 (Hayakawa 1985; Nagao & Srivastava, in press) などここで述べなかったが重要なテーマはたくさんある．また，ロバスト回帰分析では， high breakdown point を有する比較的 efficient な推定方式がどんどん提案されており (Rousseeuw 1984; Yohai 1987)， elliptical 分布に基づく iteratively reweighted least squares (IRLS) method (e.g., Rubin 1983) はもうすでに古いという分野もある．

elliptical 分布における推定法で重要なものがもう１つある．それは， adaptive estimation (Bickel 1982) といわれるもので， p.d.f. g(·) 自体をノンパラメトリックに一致推定することにより漸近有効推定量を得ようとする方法である．これも大きな development の 1 つである．

elliptical 分布は正規分布の自然な拡張で，正規分布における多くの重要な性質を引き継いでいる．しかし， Diaconis (1987) の云うように， elliptical 分布は正規分布の ”minor modification” であって，現実のデータ分布からは依然として程遠いという警鐘には耳を傾ける必要がある．最も大きい制約の１つは，周辺分布の尖度がすべて等しくなければならないことであろう．これ対して， Kano, Berkane & Bentler (1990) は elliptical 分布の拡張で周辺分布の尖度が異なってもよいという分布族を提案している．しかし，これで十分というわけではない．

References

Anderson, T. W. (1984). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (2nd ed.). New York: John Wiley.

Anderson, T. W. and Fang, K.-T. (1982). Distributions of quadratic forms and Cochran’s theorem for elliptically contoured distributions and their applications. Technical Report No. 53, Stanford Univ.

Andrews, D. F. and Mallows, C. L. (1974). Scale mixture of normal distributions. Journal of the

Royal Statistical Society, Ser. B 36, 99-102. Andrews, D. F. et al. (1972). Robust Estimates of Location: Survey and Advances. Princeton

University Press. Bentler, P. M. (1983). Some contributions to efficient statistics in structural models: Specification

and estimation of moment structures. Psychometrika, 48, 493-517. Bentler, P. M. and Berkane, M. (1986). Greatest lower bound to the elliptical theory kurtosis

parameter. Biometrika, 73, 240-241. Berkane, M. and Bentler, P. M. (1986). Moments of elliptically distributed random variates.

Statistics & Probability Letters, 4, 333-335. Berkane, M., Kano, Y., and Bentler, P. M. (1992). Pseudo maximum likelihood estimation in

elliptical theory: Effects of misspecification. (submitted) Bickel, P. J. (1982). On adaptive estimation. The Annals of Statistics, 10, 647-671. Browne, M. W. (1982). Covariance structures. In D. M. Hawkins (Ed.) Topics in Applied Multi-

variate Analysis (pp. 72-141). Cambridge: Cambridge University Press. Browne, M. W. (1984). Asymptotically distribution-free methods for the analysis of covariance

structures. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, 37, 62-83. Cambanis, S., Huang, S., and Simons, G. (1981). On the theory of elliptically contoured distribu-

tions. Journal of Multivariate Analysis, 11, 368-385. Chmielewski, M. A. (1981). Elliptically symmetric distributions: A review and bibliography. In-

ternational Statistical Review, 49, 67-74. Dawid, A. P. (1977). Spherical matrix distributions and a multivariate model. Journal of the

Royal Statistical Society, Ser. B, 39, 254-261. Dempster, A. P., Laird, N. M., and Rubin, D. B. (1977). Maximum likelihood from incomplete

data via the EM algorithm. Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, 39, 1-38. Dempster, A. P., Laird, N. M., and Rubin, D. B. (1980). Iteratively reweighted least squares for

linear regression when errors are normal/independent distributed. In P. R. Krishnaiah (Ed.) Multivariate Analysis 5 (pp. 35-57). Amsterdam: North-Holland.

Diaconis, P. (1987). Theory of Poincare and de Finetti. IMS Bulletin, 10(2), Abstract, 63-64. Dutter, R. (1983). COVINTER: A computer program for computing robust covariances and for

plotting tolerance ellipses. Research Report 10. Technische Universität Graz, Austria. Fang, K.-T. and Anderson, T. W. (1990). Statistical Inference in Elliptically Contoured and

Related Distributions. New York: Allerton Press. Fang, K.-T. and Zhang, Y.-T. (1990). Generalized Multivariate Analysis. Berlin: Springer-Verlag. Fang, K.-T., Kotz, S., and Ng, K.-W. (1990). Symmetric Multivariate and Related Distributions.

New York: Chapman and Hall. Hampel, F. R., Ronchetti, E. M., Rousseeuw, P. J., and Stahel, W. A. (1986). Robust Statistics:

The Approach Based on Influence Functions. New York: John Wiley. Hayakawa, T. and Puri, M. L. (1985). Asymptotic distributions of likelihood ratio criteria for

testing latent roots and latent vectors of a covariance matrix under an elliptical population. Biometrika, 72, 331-338.

Huber, P. J. (1964). Robust estimation of a location parameter. The Annals of Mathematical

Statistics, 35, 73-101. Huber, P. J. (1977). Robust covariances. In S. S. Gupta and D. S. Moore (Eds.) Statistical

Decision Theory and Related Topics, vol. 2. New York: Academic Press. Huber, P. J. (1981). Robust Statistics. New York: John Wiley. Kano, Y., Berkane, M., and Bentler, P. M. (1990). Covariance structure analysis with heteroge-

neous kurtosis parameters. Biometrika, 77, 575-585.

Kano, Y., Berkane, M., and Bentler, P. M. (in press). Statistical inference based on pseudo maximum likelihood estimators in elliptical populations. Journal of the American Statistical Association.

Kariya, T. (1981a). A robustness property of Hotelling’s T^{2}-problem. The Annals of Statistics,

9, 211-214. Kariya, T. (1981b). Robustness of multivariate tests. The Annals of Statistics, 9, 1267-1275. Kariya, T. and Sinha, B. K. (1989). Robustness of Statistical Tests. San Diego: Academic Press. Kelker, D. (1970). Distribution theory of spherical distributions and a location-scale parameter.

Sankhyā, Ser. A, 32, 419-430. Kuwana, Y. and Kariya, T. (1991). LBI tests for multivariate normality in exponential power

distributions. Journal of Multivariate Analysis, 39, 117-134. Lange, K. L., Little, R. J. A., and Taylor, J. M. G. (1989). Robust statistical modeling using the

T -distribution. Journal of the American Statistical Association, 84, 881-896. Magnus, J. R. and Neudecker, H. (1988). Matrix Differential Calculus with Applications in Statis-

tics and Econometrics. New York: Wiley. Mardia, K. V. (1970). Measures of multivariate skewness and kurtosis with applications. Bio-

metrika, 57, 519-530. Mardia, K. V. (1974). Applications of some measures of multivariate skewness and kurtosis in

testing normality and robustness studies. Sankhyā, Series B, 36, 115-128. Maronna, R. A. (1976). Robust M-estimators of multivariate location and scatter. The Annals

of Statistics, 4, 51-67. Mitchell, A. F. S. (1988). Statistical manifolds of univariate elliptic distributions. Internal Statis-

tical Review, 56, 1-16.

宮川雅己 (1987). EM アルゴリズムとその周辺. 応用統計学, 16, 1-21.

Muirhead, R. J. (1982). Aspects of Multivariate Statistical Theory. New York: John Wiley. Muirhead, R. J. and Waternaux, C. M. (1980). Asymptotic distributions in canonical analysis and

other multivariate procedures for nonnormal populations. Biometrika, 67, 31-43. Nagao, H. and Srivastava, M. S. (in press). On the distributions of some test criteria for a covari-

ance matrix under local alternatives and bootstrap approximations. Journal of Multivariate Analysis.

Ohtani, K. (1990). Testing for equality of error variances between two linear regressions with

independent multivariate t-errors. (submitted). Rousseeuw, P. J. (1984). Least median of squares regression. Journal of the American Statistical

Association, 79, 871-880. Rousseeuw, P. J. and Leroy, A. M. (1987). Robust Regression & Outlier Detection. New York:

John Wiley. Rubin, D. B. (1983). Iteratively reweighted least squares. In S. Kotz & N. L. Johnson (Eds.)

Encyclopedia of Statistical Sciences 4 (pp. 272-275). New York: John Wiley. Schoenberg, I. J. (1938). Metric spaces and completely monotone functions. The Annals of

Mathematics, 39, 811-841. Taylor, J. M. G. (1992). Properties of modelling the error distribution with an extra shape

parameter. Computational Statistics & Data Analysis, 13, 33-46. Tyler, D. E. (1983). Robustness and efficiency properties of scatter matrices. Biometrika, 70,

411-420. Tyler, D. E. (1987). A distribution-free M-estimator of multivariate scatter. The Annals of

Statistics, 15, 234-251. Yamaguchi, K. (1990). Generalized EM algorithm for models with contaminated error terms. In

Proceedings of the Seventh Japan and Korea Joint Conference of Statistics (pp. 107-114).

山口和範 · 渡邊美智子 (1989). 非正規性の下での最尤因子分析法とその効率評価. 関西大学『経済論集』 , 39,

1097-1118. Yohai, V. J. (1987). High breakdown-point and high efficiency robust estimates for regression.

The Annals of Statistics, 15, 642-656.

渡邊美智子 · 山口和範 (1989). 非正規性の下での最尤法. 関西大学『経済論集』 , 39, 101-113.