プロジェクト

  • 日仏二国間交流事業共同研究 (2012年4月〜)
  • ワークショップ / 集中講義
  • 集中講義「数理特論」
    宮崎大学工学部材料物理工学科数学グループ 大塚浩史先生による集中講義「数理特論」を 大阪大学豊中キャンパスJ棟706で開催致しました。
    講義内容
    キャンパス内地図
    期間:2011年7月11日(月)14:40-17:50・12日(火)〜15日(金)13:00-16:10
    「シミュレーションと数理科学」, 大阪大学大学院基礎工学研究科, 2004.5.27
    「Nonlocal Elliptic and Parabolic Problems」, 大阪大学大学院基礎工学研究科, 2003.11.20
    「Nonlinear Problems in Gauge Theory and Fluid Dynamics」, Seoul National University, 2002.12.9-10
    「自己相互作用粒子系の数学解析と数理」, 大阪大学大学院基礎工学研究科, 2002.11.8
  • マリーキューリーグラント (2010年4月〜)
  • 戦略創造事業CREST (2009年10月〜)
  • 変分問題とその周辺 (2008年6月〜)
  • 戦略的創造研究事業 (2007年10月〜)
  • 日本応用数理学会 数理医学研究部会
  • 未来ラボシステム (2004年7月〜)
  • 日韓科学協力事業共同研究
  • 期間: 平成14年7月1日 〜 平成16年3月31日(1年9ヶ月)
    非線形量子力学、双対変分原理、統計力学ヒエラルキーにおける数学原理を、平均場や自己双対ゲージ場など、 物理的に意味があり、先端研究の基礎となる場の理論の解析的な研究において展開する。
  • 東アジア偏微分方程式会議 (2000年9月〜)
  • 研究課題名:
    自己相互作用粒子系の数学解析と数理
    組織:
    日本側研究協力者
    氏名所属・職名研究協力テーマ
    小田中紳二大阪大学大学院サイバーメディアセンター・教授半導体デバイス方程式
    仙葉隆宮崎大学工学部・教授粘菌方程式
    小林孝行佐賀大学理工学部・助教授自己重力粒子平均場方程式
    大塚浩史木更・Eテ工業高等専門学校・助教授双対変分原理
    黒木場正城福岡大学理学部・助手一般走化性方程式
    伊藤昭夫近畿大学理工学部・講師相分離方程式
    高橋太
    自己双対ゲージ場方程式
    星野弘喜藤田保健衛生大学短期大学・助教授腫瘍方程式
    内藤雄基神戸大学工学部・助教授非局所項を持つ非線形楕円型固有値問題
    相手国側研究者
    氏名所属・職名研究協力テーマ
    Dongho Chae Sungkyunkwan University, Professor (Korea) ゲージ場理論と流体数学における非線形問題
    Jongmin Han Korea University of Foreign Language, Assistant Professor (Korea) Chern-Simonsゲージ場理論における非線形問題
    Jihoon Lee Seoul National University, Assistant Professor (Korea) Euler 方程式
    Bum Ja Jin Seoul National University, Research Associate (Korea) 定常Navier-Stokes方程式
    Namkwon Kim Korea Institute of Advanced Study, Researcher (Korea) 非定常Navier-Stokes方程式、弱解の正則性

    目的:
     多数の自己相互作用粒子系のランダムな運動の平均場は、統計力学的な処理によ・閨A 物理的な場とカップルした非線形移流拡散方程式によって記述される。正の走化性の場合は粘菌方程式、 負の走化性の場合は半導体デバイス方程式、これらと直交する力が働くときは、渦度場方程式といった具合である。 これらの解の時間大域的な挙動はおのずから異なるが、特に走化性の場合の平衡状態は保存量である質量を固有値とすることにより、 非局所項をもつ非線形楕円型固有値問題として定式化される。一方非平衡状態は自由エネルギーに支配され、 その時間遷移過程は平衡状態の解集合の全体に支配される。これが非線形量子力学のストーリであり、これにしたがうと、 こうした多粒子系の平均場の運動の研究は平衡状態の安定性から始まることになる。この場合、 場の変分構造を用いる方法と粒子の変分構造を用いる方法とがあるが、この両者が力学系も含めて同等であることを保障するのが 双対変分原理である。片側のみに成り立つものも含めると双対変分原理は、相分離方程式、自己重力粒子平均場方程式など、 自由エネルギーや保存則を備えた平均場理論に常に適用できるものである。また一連の平均場を記述する統計力学の方程式系列には、 これらを導出する物理原理とは異なる数学原理があり、Chern-Simons-Higgs 理論などの、自己双対ゲージ場における非線形問題の 爆発機構の量子化もこの枠組みで理解できる。本共同研究の目的は、研究代表者によって明らかにされたこうした数学的なパラダイム、 すなわち非線形量子力学、双対変分原理、統計力学ヒエラルキーにおける数学原理を、平均場や自己双対ゲージ場など、物理的に意味があり、 先端研究の基礎となる場の理論の解析的な研究において展開するものである。
    内容:
     Chern-Simonsを始め、空間次元2で確立している自己双対ゲージ場の標準理論では、場の凝縮の問題は指数型非線形性と 非局所項をもつ非線形楕円型固有値問題として定式化できる。この問題に対しては数学的には爆発機構の量子化という原理が働くので、 これを基にして解の定性的理論を展開して解の存在証明を与え、常温超伝導の理論などに対する数学的な裏づけをする。 爆発機構の量子化は非定常走化性方程式においてはcollapse 質量において実現される。本研究では爆発条件に関するthreshold を基としてscaling や対称化といった新しい数学的な方法を開発してこのことを証明するとともに、爆発点を二つに分類して、 第2種では超放物性、第1種ではミクロな創発性が発現していることを確立する。一方形態形成の理論からは場の形成の仕方によってより 精密なモデルが得られることを指摘し、化学的な場からは非局所項をもつ放物型方程式、生物学的な場からは腫瘍方程式の研究への動機付けを与える。 双対変分原理の一般論ではToland duality とKuhn-Tucker duality の二つを研究する。とくに semi-minimality とsemi-unfolding に基づいて、 平衡解の安定性が議論できることを確立し、自己重力粒子平均場方程式、相分離方程式の研究に応用する。 また自己重力粒子平均場方程式では爆発解においてcollapseの形成を議論し、統計力学ヒエラルキーにおける数学原理に基づいて、 Fokker-Planck方程式の平衡解の安定性やcollapseの形成についても研究する。
    成果:
    双対変分原理
    1. Toland dualityにおいて場と粒子の変分構造のunfolding, maximalityを確立し、両者の力学的 同等性を導出することができた。
    2. Semi-unfolding, semi-maximalityを持つ平均場方程式として、相分離方程式、自己重力粒子平均場方程式などが発見され、これらの方程式の平衡解の安定性について研究の糸口が得られた。
    3. Kuhn-Tucker dualityに従う方程式が発見され、新しい研究テーマが得られた。
    非線形量子力学
    1. スケーリング、対称化をはじめとする数々の数学的方法の開発によって、空間2次元での走化性方程式においてcollapse massが8πに量子化することを証明した。
    2. タイプIの爆発点においてミクロな創発性が発現すること、タイプIIの爆発点が超放物型であることを証明して、自己組織化に関する新しい視点を導入することができた。
    3. 自己重力粒子平均場方程式においてcollapseの形成に関する予想を得た。
    4. 一般走化性方程式において量子化してcollapseの形成される場合に関する予想を得た。
    5. 平衡状態の特異極限の近くでの線形化作用素の非退化と、爆発点がRobin関数の臨界点として非退化であることが同等であることを証明した。
    統計力学ヒエラルキーにおける数学原理
    1. キネティックモデルである Fokker-Planck方程式の平衡状態とその安定性を定式化した。
    場の形成
    1. 化学的な場を非局所項のある半線形放物型方程式として定式化するとともに空間3次元以上の回転対称な平衡状態をMorse指数も含めて分類し、ヘテロクリニック軌道の存在を予想した。
    2. 生物学的な場に対して負の走化性が働く場合に、定数解に収束する解を構成し、また一般の場合に時間局所的適切性を示すとともに、いくつかのLyapunov関数を構成した。
    界面正則性
    1. Stokes方程式の界面消滅を、フラットでない一般の場合に証明した。
    自己双対ゲージ場理論
    1. 対称化の方法により、退化Liouville方程式の爆発機構を分類した。
    2. 爆発機構の解明によりSU(3)戸田方程式の周期解の・カ・ンを証明した。
    3. Gluing法により渦点に凝縮するChern-Simons方程式の周期解の存在を証明した。