前回導出した三種類(S型, R型, L型)の量子Bhattacharyya不等式を量子ガウス状態の 複素振幅thetaの多項式g(theta)の推定問題に応用する. 量子ガウス状態は, レーザ光の量子状態の典型的なモデルであり, 量子光学や量子情 報で重要な研究対象である. 未知の複素振幅thetaを推定する方法としては, thetaが実軸に ある場合はホモダイン測定, 一般の複素数の場合はヘテロダイン測定が知られてお り, それぞれS型とR型の量子Cramer-Rao不等式の下限を達成するUMVUEである. さら にここでは, thetaが実数の場合に (1), (2)を示し, thetaが複素数の場合に (3), (4)を示 す.

(1) g(theta)=theta^2に対するUMVUEは存在してS型Bhattacharyya下限を達成する. その推 定量は, 物理系にスクイジングと呼ばれる操作を施した後の個数測定によって与えら れる.
(2) g(theta)=theta^3に対するUMVUEは, 生成消滅作用素の多項式の形では存在しない.
(3) g(theta)が正則, 或いは反正則, ならば, ヘテロダイン測定によってUMVUEが与えら れ, それぞれR型, L型のBhattacharyya下限を達成する.
(4) g(theta)が実数値ならば, ある測定によりUMVUEが与えられ, R型, L型両方の下限を 達成する.

量子ガウス状態は古典の正規分布に似ている. しかし, 古典では, 平均の多項式は Hermite多項式により常にUMVUEを構成できるが, 量子では上記のように事情が異な る.